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各校計畫成果

Geometric measure theory – a mathematical toolbox to study surfaces

玉山青年學者 發布單位:國立臺灣師範大學 點閱次數:803
核定年度:107/計畫成果年度:107 /學術領域:理學/學者名稱:Ulrich Menne

活動簡介

一般而言,我的研究目標在於了解局部的複雜曲面結構,它出現在許多自然科學的模型。在這方面,數學曲面可能和許多各式各樣的物理物件有關連:例如,肥皂泡膜、黑洞視界、細胞膜以及物質不同相的界面,或者經數位化重建的影像中不同灰階之間的界面。

正是數學抽象化的力量,讓我們設想出一個曲面模型,適用剛剛提到的所有實例,並從理論上得出結果(例如:regularity結果),足以代表性地應用於全部情境。所謂regularity結果,指的是一則數學定理,它說,當曲面滿足某個最佳條件時,可以給出更簡單(也就是更regular)的局部描述,在同類型的曲面中,這個特性並非任意可見。

具有局部複雜結構的曲面模型之研究與幾何測度論領域有關。幾何測度論的成功,不僅因為它的結果有許多應用,出現在其他更寬廣的數學領域(例如:微分幾何、幾何分析以及自然科學中的數學模型),也因為它的方法新穎,為偏微分方程與變分學這個重大領域作出貢獻。

我的研究的核心動機在於推動基礎的regularity問題的進展,這個問題是Allard於1972年所提出的。這個問題關心某一類用途特別廣的曲面(也就是可積varifolds)在符合自然最佳條件時所具有的局部結構。這類曲面用於前面提到的所有物理物件的模型之中。